구체적으로는 [ 2 ^ x ]인 함수에서, x 가 무리수 일 때, 예를 들어,
[ 2^( sqrt(2) ) ] 인 값의 정의가 어떻게 되는가 하는 것이었다.
x가 자연수, 정수인 경우, 유리수 인 경우까지는 정의를 해 볼 수 있었는데,
무리수인 경우는 어떻게 했었는지 기억이 나지 않았다. ( 더 정확히는 기억이 나지 않는다기 보다는 지금까지 전혀 모르고 있었고, 질문을 할 생각조차도 못했었다는 느낌이었다.)
내가 고등학생 때 의문이 들지 않았는지 생각하다가, 아무래도 뭔가 답이 있었기 때문에 넘어간 것이었을 것이라는 추측(?)까지도 해 봤지만, 여전히 그 답이 무엇이었을지 알 수 없었다. 그리고, 의문이 들기는 했었는지도 전혀 기억 나지 않았다.
며칠동안 이 생각이들 때마다, 곤란해져서, 고등학교 수학교과서를 다시 살까,
페이스북 수학그룹에 물어 볼까 하다가,오늘 구글 검색을 해봤고,
위키백과에서 답을 찾았다.
지금까지는 이런 일이 있을 때면 그냥, '아 그랬구나, 내가 잊어버렸었네.'하고 그냥 지나쳐 버렸었지만, 이제는 의문이 생겼고, 답을 알아냈어도 그 과정조차도 그냥 지나치기 아까워져서 잠깐 적어 보겠다.
_(구글검색: 지수함수 정의 )_했더니,
지수함수 ( https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A7%80%EC%88%98_%ED%95%A8%EC%88%98 https://ko.wikipedia.org/wiki/지수_함수 )
가 나왔는데, 내용은 내가 원하던 것이 아니었지만, 설명 중에서 '거듭제곱' 항목의 낱말에 연결이 있어서 가 보니,
거듭제곱 ( https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B1%B0%EB%93%AD%EC%A0%9C%EA%B3%B1 https://ko.wikipedia.org/wiki/거듭제곱 )
이라고 나온 페이지가 있었고, 거기에 내가 원했던 답이 있었다.
지수 범위의 확장 -> 실수
실수
실수 x에 대해, e를 밑으로 하는 거듭제곱은 지수 함수로 정의된다.
또한, 극한을 이용하여 정의할 수도 있다.
멱급수로 표현하면 다음과 같다.
일반적인 실수에 대해서는 다음과 같이 정의한다.
.
즉, 원래 내가 궁금해졌던 수인,
[ 2 ^ ( sqrt(2) ) ] =정의= [e ^ ( sqrt(2) x ln(2) ) ]
로 한다는 것이 되고,
= lim_{n->+ \infty } (1 + ( sqrt(2) x ln(2) ) / n )^n
으로 최종 정의(?) 된다는 것이 된다.
위의 인용의 첫 줄인
e^x = lim_{n -> + \infty } (1 + x / n ) ^ n
이것을 수학 책이나, 수학의 정석 책에서 본 기억이 어렴풋이 나기 시작했다.
물론, 대학교에서 본 수학 교재(학교 교과서였는지, 아니면 그 때 본 다른 수학책이었는지는 잘 모르겠지만 하여간 대학교에 다닐 때 본...) 에서도 본 기억이 나기 시작했다.
교과서 구입은 나중으로....
그리고, 기억이 더 났다. 감정이었다.
짜증이 확 밀려 왔었다. 거듭제곱을 이렇게 어려운 방법으로 정의를 바꾸다니... 이런 정의로는 나는 거듭제곱에 대해 제대로 계산할 것이 아무 것도 없겠다는 ... 도대체 무슨 방법으로 이런 정의를 만들어 냈을까하는...
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When you start such programs, you usually get a dialog box warning you about that though.
